si el puede pelear la guarda y custodia tambien eso es cierto, pero de aqui a q se la otorguen si  es dificil, por lo general los niños se van con la madre hasta q tengan 9 o 12 años podran decidir con quien vivir (esta edad varia depeniendo la entidad federativa donde te encuentres), se los entregarian en dado caso q el menor presente daños psicologico o fisico por parte de la madre pero como tu dices tu bb tiene una edad en la q aun necesita de los cuidados q solo una madre puede proporcionar.