El agregar otro nombre, si es cambiar tú nombre, no es lo mismo Juan que Juan Luis, o Carlos que Juan Carlos.

Debes de promover un Juicio de Rectificación de Acta de Nacimiento, si eres mayor de edad tus padres no tienen nada que ver en este asunto, solo te incumbe a ti, y debes de Demandar al Registro Civil.

El costo varia de abogado en abogado, no me atrvería a darte un aproximado, lo mejor es que consultes a tu abogado de Confianza.

Saludos