Mira el Registro de un menor implica asuntos de filiación, aunque se ha debatido mucho en México el hecho de que se ponga primero el apellido paterno y despues el materno, esto por razones -dicen los disidentes- de machismo o sometimiento de género, etc. Lo que se propones es que no sea Apellido Paterno y Apellido Materno, sino Primer Apellido y Segundo Apellido como ya sucede en algunos formatos de documentos.

Pero desde luego eso es algo que aún no se aplica en México como Nación o en algunos de sus Estados, por lo que no podrás registrarlo de la manera que pretendes, por otro lado el hacerlo de manera fraudulenta -cualquiera de las formas que mencionas- desde luego que implicaría problemas para el menor y para los declarantes porque estarían falseando declaraciones.

Ahora, tu pareja legalmente tampoco puede cambiarse el apellido a capricho (aunque si lo puede hacer de manera ilícita), pero al igual sería todo un problema legal que finalmente se lo herederán al menor.

Por ultimo el hecho de estar o no casados civilmente es intrascendente para lo que cuestionas. Saludos